Актриса Ингеборга Дапкунайте родилась в Вильнюсе (Литва). Отец актрисы был дипломатом, а мать метеорологом. Родители долгое время работали в Москве, а дочь приезжала к ним только на каникулы. В Вильнюсе маленькая Ингеборга оставалась на попечении бабушки с дедушкой, а также тети и дяди (музыкантов в театральном оркестре), которые делали всё, чтобы она не ощущала долгого отсутствия родителей. В четыре года она впервые вышла на сцену — в опере Пуччини «Чио-Чио-сан» по протекции своей бабушки, администратора Вильнюсского оперного театра. После оперного дебюта драматическое искусство поначалу казалось маленькой девочке не таким интересным, ввиду отсутствия танцев, песен и музыки. К тому же детство и юность Ингеборги прошли с нацеленностью скорее на спортивную карьеру: она не без успехов занималась фигурным катанием и баскетболом, популярным в Литве видом спорта. Недалеко от дома, где жила Ингеборга, на горе Таурас, располагался профсоюзный дворец, в котором была театральная студия, где Ингеборга занималась в течение трех лет.
Сразу после школы Ингеборга поступила в Литовскую консерваторию (факультет хорового и театрального искусства, курс Йонаса Вайткуса). Также она собиралась поступать в институт иностранных языков, но в консерваторию экзамены были на месяц раньше. После окончания консерватории в 1985 году она начинает работать актрисой в Каунасском драматическом театре, позже — в Молодежном театре в Вильнюсе. Кинодебют актрисы состоялся в 1986 году в фильме Исаака Фридберга «Ночные шепоты». В 1993 году состоялся дебют Дапкунайте в Голливуде, в телесериале «Аляска Кид». В этом же году она переезжает в Лондон, где начинает играть в Лондонском театре.
