Артист балета и актер Александр Годунов родился на Сахалине в семье военного. С трехлетнего возраста жил в Риге, где по настоянию матери и поступил в Рижское хореографическое училище, хотя сам Александр хотел стать военным. Окончив училище в 1967 году, танцевал в Государственном хореографическом ансамбле «Классический балет» («Молодой балет») под управлением Игоря Моисеева. В 1971 году перешел в балетную труппу Большого театра. В 1976 году получил звание Заслуженного артиста РСФСР.
23 августа 1979 года во время гастролей Большого театра в Нью-Йорке Александр Годунов обратился к американским властям с просьбой о предоставлении ему политического убежища. Это привело к международному скандалу с участием его жены Людмилы Власовой, которую единственную из всей труппы принудительно решили отправить в СССР. Конфликт, в который оказались вовлечены лидеры СССР и США Леонид Брежнев и Джимми Картер, длился три дня, после чего самолет с Власовой на борту все-таки вылетел в Советский Союз. Через два года Власова и Годунов официально развелись через посольство.
Скончался Александр Годунов 18 мая (по другим данным — 12 мая) 1995 года в своем калифорнийском доме. Причины его смерти вплоть до 2014 года неизвестны для широкой общественности. Прах Годунова был развеян над Тихим океаном.
