Михаил Козаков родился 14 октября 1934 года в Ленинграде, в семье писателя М.Э. Козакова и редактора «Издательства писателей в Ленинграде» Зои Александровны Никитиной, сербско-греческого происхождения и родом из Одессы. Во время войны его вместе с другими ленинградскими детьми эвакуировали в Молотовскую область (сейчас — Пермский край). С 1941 по 1944 год он жил в деревне Черное. С 1945 года учился в Ленинградском хореографическом училище. По окончании 222-ой мужской школы (бывшей Петришуле) в 1952 году Михаил Козаков поступил в школу-студию МХАТ. Учась на последнем курсе, дебютировал в кино, снявшись в роли Шарля Тибо в политической драме М.И. Ромма «Убийство на улице Данте» (1956).
В 1956 году окончил Школу-студию МХАТ (курс П.В. Массальского). По окончании студии поступил на работу в Театр имени В. Маяковского, где проработал с 1956 по 1959 год. Затем играл в «Современнике» (1959-1970), во МХАТе (1971-1972), в Театре на Малой Бронной (1972-1981) и в Ленкоме (с 1986). Также, по словам Михаила Козакова, он играл на сцене Саратовского ТЮЗа у Ю.П. Киселева в пьесе «Обыкновенная история». В 1991 году М.М. Козаков с семьей переехал в Израиль. В течение четырех лет играл на иврите в Тель-Авивском камерном театре; кроме того, создал русскую труппу (антрепризу), с которой подготовил четыре спектакля. В 1996 году артист вернулся в Россию и организовал собственную труппу под названием «Русская антреприза Михаила Козакова». Выступал с моноспектаклями (один из таких моноспектаклей — «Пушкин и о нем») и в роли чтеца, в частности записал компакт-диски со стихотворными произведениями И.А. Бродского и А.А. Ахматовой.
